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Mécanique des milieux continus en déformations finies

Jean GARRIGUES
jean.garrigues@ec-marseille.fr

Date: Septembre 2002

Avant-propos

Le but de ce texte est de mettre en place la mécanique des milieux continus dans le cadre de la physique classique et des déformations finies (qu'on appelle aussi souvent grandes déformations, par opposition aux théories classiques des petites déformations). La finalité est de montrer comment on doit construire les lois de comportement qui respectent les principes fondamentaux, et spécialement ceux de la thermodynamique.

Ce texte est rédigé sous la forme d'un cours. L'avantage de cette démarche est d'être obligé de <<partir de zéro>> ou presque.

Aperçu du contenu


La première partie est essentiellement consacrée à la formalisation de concepts généralement considérés comme évidents, mais qui ne le sont pas tout à fait autant qu'il y paraît ! Notamment, j'y donne une définition précise de l'objectivité des grandeurs physiques qui n'est pas toujours clairement définie, et qui rend non objectifs bon nombre de tenseurs considérés comme tels par beaucoup d'auteurs. L'étude des lois de comportement tend à montrer que cette définition est la bonne.
J'y donne aussi une définition de l'universalité des lois (souvent malencontreusement appelée aussi <<objectivité>>).
Enfin, on y étudie de manière complète la description des déformations finies, des vitesses de déformation et des efforts intérieurs.

La seconde partie est peu originale et, hormis quelques considérations sur l'objectivité, elle ne fait que rappeler les expressions des principes fondamentaux de la physique classique pour les milieux continus.
Toutefois, un soin particulier a été apporté sur les principes de la thermodynamique, en raison de leur importance dans la construction des lois de comportement.

Les parties suivantes sont le véritable but de ce texte. On y montre que les principes fondamentaux (et spécialement ceux de la thermodynamique) impliquent une forme générale des lois de comportement et toute proposition de loi de comportement devrait se conformer à ce moule afin d'être thermodynamiquement admissible. Les milieux continus se trouvent naturellement classifiés par le nombre et la nature de leurs variables d'état indépendantes.

La troisième partie traite des modèles de solides déformables intrinsèquement réversibles (c'est-à-dire élastiques) isotropes et anisotropes ¹. On y étudie d'abord les modèles de milieux élastiques en évolution isotherme, et on aboutit à une forme générale de leurs lois de comportement. On généralise ensuite avec la thermo-élasticité compressible et incompressible. Cette partie est complétée par un chapitre de synthèse du problème thermo-élastique.

La quatrième partie aborde les milieux continus dissipatifs sans variables internes. On y traite les gaz, les liquides et les solides (viscoélasticité).

La suite (à venir) traitera des milieux à variables internes.

Le formalisme tensoriel


Le formalisme utilisé est le formalisme tensoriel. L'avantage de ce formalisme est de pouvoir se détacher des problèmes de systèmes de coordonnées, pour ne se consacrer qu'aux concepts mécaniques. Il est clair que dans les applications, les opérations tensorielles évoquées dans ce texte se traduiront par des opérations matricielles sur les composantes de ces tenseurs dans une base de calcul (orthonormée ou non, fixe ou non).
On ne trouvera donc dans ce texte aucune référence aux composantes des tenseurs, et les calculs tensoriels sont donc faits sans indices. Outre la plus grande lisibilité, ce choix met clairement en évidence le fait qu'un résultat de physique est indépendant du choix du système de coordonnées qu'on utilise pour repérer un point de l'espace.

Pour les lecteurs peu familiarisés avec les calculs tensoriels, on propose en annexe A page un condensé d'algèbre tensorielle rassemblant la plupart des notions nécessaires à la lecture de ce texte.

Conventions typographiques


Les vecteurs et les tenseurs sont notés en caractères gras. La plupart du temps, les vecteurs sont en minuscules et les tenseurs en majuscules.
Les opérations spécifiquement tensorielles sont

• le produit tensoriel noté $\otimes$
• le produit tensoriel contracté une fois noté $\,\overline{\otimes}\,$
• le produit tensoriel contracté deux fois noté $\,\overline{\overline{\otimes}}\,$
• le produit tensoriel contracté n fois noté $\,\overline{\otimes}^n\,$

Bien que pouvant paraître plus lourdes, ces notations on l'avantage de la cohérence. Dans la littérature, $\,\overline{\otimes}\,$ est souvent noté par un point, parfois par aucun symbole, selon qu'il opère entre deux vecteurs ou entre un tenseur et un vecteur ou entre deux tenseurs. Le produit $\,\overline{\overline{\otimes}}\,$ est souvent noté ":". On trouve aussi parfois dans la littérature des produits tensoriels (non contractés) sans symbole.

L'erreur est humaine...


Si on veut faire de la mécanique des milieux continus en déformations finies sans concessions, il arrive que certains calculs tensoriels soient compliqués. D'une manière générale, pour ne pas alourdir la lecture, les plus compliqués sont détaillés en annexe.
Bien que vérifiés avec soin (parfois à l'aide d'un logiciel de calcul formel), il se peut que des erreurs subsistent. Je prie le lecteur de bien vouloir me le pardonner et d'avoir la gentillesse de me les signaler (jean.garrigues@esm2.imt-mrs.fr). Je l'en remercie à l'avance.

Ce texte est en évolution permanente.
La version disponible sur http://esm2.imt-mrs.fr/gar/index.html est toujours la plus récente.

Bonne lecture.